Any принимает любой тип: структуру, перечисление, класс, замыкание. AnyObject принимает только экземпляр класса. В Any значение может быть упаковано в контейнер. AnyObject это ссылка на объект.

Дополнительные вопросы

1. Чтобы протокол могли реализовать только классы. Тогда значение протокола можно держать как weak: слабая ссылка бывает у класса, у структуры её нет. Так объявляют делегат.